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   DingPeng: 因果推断简介之七：Lord’s Paradox  | 数螺 | NAUT IDEA
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    DingPeng: 因果推断简介之七：Lord’s Paradox
   </h1>
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       <article class="post-8443 post type-post status-publish format-standard hentry category-classical tag-load-paradox tag-739 tag-54 tag-539 tag-738 tag-737" id="post-8443">
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         <h1 class="entry-title">
          因果推断简介之七：Lord’s Paradox
         </h1>
         <div class="entry-meta">
          <span class="date">
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             2013/09/09
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           </a>
          </span>
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            经典理论
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          </span>
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            load paradox
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           、
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           、
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           、
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            随机性
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          <span class="author vcard">
           <a class="url fn n" href="http://cos.name/author/dingpeng/" rel="author" title="查看所有由丁鹏发布的文章">
            丁鹏
           </a>
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         </div>
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        </header>
        <!-- .entry-header -->
        <div class="entry-content">
         <p>
          在充满随机性的统计世界中，悖论无处不在。这一节介绍一个很有名，但是在中文统计教科书中几乎从未介绍过的悖论。这个悖论是 Educational Testing Service (ETS) 的统计学家 Frederic Lord 于 1967 年提出来的；最终由同在 ETS 工作的另外两位统计学家 Paul Holland 和 Donald Rubin 于 1982 年圆满地找出了这个悖论的根源。这部分先介绍这个悖论，再介绍 Holland 和 Rubin 的解释，最后是一些结论。
         </p>
         <p>
          <strong>
           一 Lord’s Paradox
          </strong>
          <br/>
          考虑下面一个简单例子，具体的数字是伪造的。某个学校想研究食堂对于学生体重是否有差异性的影响，尤其关心食堂对于男女学生体重影响是否相同。于是统计学家们收集了如下的数据：学生的性别 $G$；学生在 1963 年 6 月入学时候的体重 $X$；学生在 1964 年 6 月放暑假时候的体重 $Y$。
         </p>
         <p>
          第一个统计学家，采取了一种很简单的方法。如图所示，横轴表示 1963 年 6 月入学前的体重 $X$，纵轴表示 1964 年 6 月前放假的体重 $Y$。个体上来看，男女入学前和入学后一年体重都会有些变化，男女学生体重的散点图分别用绿色和红色标出。从男女学生生平均体重来看，男生入学前后一年平均体重均是 $150$ 磅（图中右上角的黑点），女生入学前后一年平均体重均为 $130$ 磅（图中左下角的黑点）。图中的虚线是对角线 $Y=X$，两个黑点均位于对角线上。因此，第一个统计学家的结论是食堂对于男女学生体重都没有影响，因此对男女学生体重的作用相同。
          <br/>
          <span id="more-8443">
          </span>
          <br/>
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/09/LordPlot2.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/09/LordPlot2-500x500.png"/>
          </a>
          <br/>
          (
          <em>
           <strong>
            图注
           </strong>
           ：横轴表示 1963 年 6 月入学前的体重 $X$，纵轴表示 1964 年 6 月前放假的体重 $Y$；虚线是对角线 $Y=X$；男女学生体重的散点图分别用绿色和红色标出。图中数据生成机制如下：男学生 $(X,Y)\sim $ 二元正态分布，均值 $(150,150)$，协方差矩阵 $\begin{pmatrix} 60 &amp; 40 \\ 40 &amp; 60 \end{pmatrix}$；女学生 $(X,Y)\sim$ 二元正态分布，均值 $(130,130)$，协方差矩阵 $\begin{pmatrix} 60 &amp; 40 \\ 40 &amp; 60 \end{pmatrix}$。生成这幅图的 R 代码可以在这里下载：
           <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/09/Rcode2.txt">
            Rcode
           </a>
           。由于样本量 $3000$，样本均值非常接近理论均值，因此落在了对角线上。
          </em>
          )
         </p>
         <p>
          第二个统计学家，由于受到了高等的统计训练，知道 R A Fisher 的 Analysis of Covariance (ANCOVA) ，提出了更加复杂的方法。他认为，我们的分析应该控制入学前的体重，做如下的线性回归：
          <br/>
          $$
          <br/>
          Y_i = \beta_0 + \beta_g G_i + \beta_x X_i + \varepsilon_i. \quad\quad\quad (*)
          <br/>
          $$
         </p>
         <p>
          他进一步认为，上面线性回归的系数 $\beta_g$ 反应的就是男女的差别。用最小二乘法拟合上面的回归模型，等价于在男女学生中拟合两条平行的回归直线。如图所示，两条直线斜率 $\beta_x$ 相同，但是截距不同，截距之差就是回归系数 $\widehat{\beta}_g = 6.34$。结论是，食堂对于男女体重有差别性的影响。
         </p>
         <p>
          这两位统计学家得到了不同的结论，究竟谁对谁错呢？Lord 称这个现象为悖论，那么悖论的根源是什么呢？
         </p>
         <p>
          <strong>
           二 悖论的根源：因果推断视角下的解释
          </strong>
          <br/>
          要想解释这个悖论，使用线性回归模型益处不大，因为究竟能否将回归系数解释成因果作用，是个根本性的问题。在下面的讨论中，我们假定数据的样本量足够大，因而可以忽略小样本带来的随机性；也可以认为整个讨论都在总体上进行。和前面一样，我们用 $G_i$ 表示个体 $i$ 的性别，男性取值为 $1$， 女性取值为 $0$；$X_i$ 是个体 $i$ 在 1963 年 9 月的体重。由于这两个变量都发生在接受处理（在食堂进餐与否）之前，它们都可以看成是协变量，不受处理的影响。我们采用潜在结果模型，定义 $\{ Y_i(1), Y_i(0) \} $ 是个体 $i$ 在食堂进餐和不在食堂进餐下于 1964 年六月体重的潜在结果。
         </p>
         <p>
          如果用 $T$ 表示在食堂进餐与否的变量，那么每个学生都是 $T=1$。当写下潜在结果之后，我们就发现问题的根源之一，是整个研究根本不存在对照组（全体学生其实都在食堂进餐），每个个体在 1964 年 6 月都取值 $Y(1)$ (也就是前面的记号 $Y$)。
         </p>
         <p>
          继续我们的讨论。男女学生的平均因果作用分别定义为：
         </p>
         <p>
          $$
          <br/>
          \Delta_g = E\{ Y(1) – Y(0) \mid G = g \}, g=1, 0;
          <br/>
          $$
         </p>
         <p>
          食堂对于男女学生体重平均因果作用的差是：
         </p>
         <p>
          $$
          <br/>
          \begin{eqnarray}
          <br/>
          \Delta &amp;=&amp; \Delta_1 – \Delta_0\\
          <br/>
          &amp;=&amp; E\{ Y(1) – Y(0) \mid G = 1 \} – E\{ Y(1) – Y(0) \mid G = 0 \}\\
          <br/>
          &amp;=&amp;\left[ E\{ Y(1) \mid G = 1 \} – E\{ Y(1) \mid G = 0 \} \right] \\
          <br/>
          &amp;&amp; –
          <br/>
          \left[ E\{ Y(0) \mid G = 1 \} – E\{ Y(0) \mid G = 0 \} \right].
          <br/>
          \end{eqnarray}
          <br/>
          $$
         </p>
         <p>
          上面的推导虽然简单，但是将 $\Delta$ 分成了两个显著不同的部分：第一个方括号内的项是我们能够从观测数据中得到的；第二个方括号中的项是我们不可观测的，因为没有任何一个学生接受了食堂之外的处理。
         </p>
         <p>
          如果我们假定 $Y(0) = X$，也就是说如果学生不来食堂进餐，他们的体重将和入学前一样，那么
          <br/>
          $$
          <br/>
          \Delta_g = E\{ Y(1) – X\mid G = g \} = E(Y-X\mid G=g).
          <br/>
          $$
          <br/>
          根据上面的图和统计学家一的推理逻辑，我们知道 $\Delta_g = 0 (g=0,1)$ （男女学生的体重不受处理影响），那么 $\Delta = 0$ （处理对于男女体重没有差异性的影响）。在这个假定下，第一个统计学家的断言是正确的。
         </p>
         <p>
          显然，假定 $Y(0) = X$ 是无法被数据证明或者证伪的，它只能依赖于我们的先验知识。那么在什么假定下，第二个统计学家又是对的呢？
         </p>
         <p>
          根据第二个统计学家做 ANCOVA 的逻辑，他可以假定
          <br/>
          $$
          <br/>
          E\{ Y(1)\mid X, G= g \} = a_g + bX,
          <br/>
          $$
          <br/>
          并且把 $\delta = a_1 – a_0$ 当成食堂对于男女体重差异作用的度量。$\delta$ 其实就是上面的线性回归模型 $(*)$ 的回归系数 $\beta_g$。如果我们假定 $Y(0) = \alpha + b X$，那么不去食堂进餐时的潜在体重 $Y(0)$ 是入学前体重 $X$ 的线性函数且截距是 $b$；这表明 $Y(1)$ 和 $Y(0)$ 关于 $X$ 的模型，仅仅截距不同，斜率相同。这个假定并非不可能。此时，
          <br/>
          $$
          <br/>
          \begin{eqnarray}
          <br/>
          \Delta &amp;=&amp; E\{ Y(1) – Y(0) \mid G=1\} – E\{ Y(1) – Y(0)\mid G=0\} \\
          <br/>
          &amp;=&amp; E\{ Y(1) – \alpha – bX \mid G=1\} – E\{ Y(1) – \alpha – bX\mid G=0\} \\
          <br/>
          &amp;=&amp; \left[ E\{ Y(1) \mid G=1\} – b E(X\mid G=1) \right] \\
          <br/>
          &amp;&amp;- \left[ E\{ Y(1)\mid G=0\} – b E(X\mid G=0) \right]\\
          <br/>
          &amp;=&amp; a_1 – a_0 = \delta.
          <br/>
          \end{eqnarray}
          <br/>
          $$
          <br/>
          最后一行等于 $\delta$，因为根据条件期望的性质，方括号中的两项分别是 $a_1$ 和 $a_0$：
          <br/>
          $$
          <br/>
          \begin{eqnarray}
          <br/>
          &amp;&amp; E\{ Y(1) \mid G=g\} – b E(X\mid G=g) \\
          <br/>
          &amp;=&amp;
          <br/>
          E\left[ E\{ Y(1) \mid X, G=g\} \mid G=g\right] – b E(X\mid G=g) \\
          <br/>
          &amp;=&amp; E\left[ a_g + bX \mid G=g\right] – b E(X\mid G=g) \\
          <br/>
          &amp;=&amp; a_g.
          <br/>
          \end{eqnarray}
          <br/>
          $$
          <br/>
          这样一来，第二个统计学家的结论就是正确的。
         </p>
         <p>
          <strong>
           三 结论
          </strong>
          <br/>
          根据上面的讨论，关于 Lord’s Paradox，我们有如下的结论：
         </p>
         <p>
          （1）Lord’s Paradox 的根源在于，整个研究没有对照组；我们甚至不知道什么是对照组，不在食堂进餐，是在家里进餐，还是外面的参观进餐，还是其他？这其实导致 $Y(0)$ 并非完好定义。上面的讨论则是假定 $Y(0)$ 是良好定义的。
         </p>
         <p>
          （2）回归或者协方差分析等统计工具，并不能清楚的回答因果的问题。这个问题中，$\Delta$ 是一个我们关心的因果度量，离开潜在结果，是很难定义的。根据上面的讨论，两位统计学家不采用潜在结果模型，甚至没有意识到，这个研究根本的问题在于缺少对照。当然，如果我们能够做一个随机化的实验，有处理和对照组，那么回归分析也可能得到合理的答案。
         </p>
         <p>
          （3）统计学家一和二，都可以是对的。他们结论的正确性，依赖于不同的假定；而这些假定本身是不可能被检验的。
         </p>
         <p>
          （4）假定 $Y(0)=X$ 可以减弱到 $Y(0)=X+u, E(u)=0, u\perp G$；假定 $Y(0)= \alpha + b X$ 可以减弱到 $Y(0) = \alpha + bX + v, E(v) = 0, v\perp G$。当然，这都是细枝末节的问题。
         </p>
         <p>
          （5）统计学家一和二，都是错的。他们有结论，但是却从未清楚地陈述结论回答的是什么问题。
         </p>
         <p>
          （6）R A Fisher 在实验设计中提出了 ANCOVA，但是这个方法不是万能的。事实上，这个方法导致的问题，比它带来的功用更严重；这点以后再说。
         </p>
         <p>
          <strong>
           四 参考文献
          </strong>
          <br/>
          （1）Lord FM. A paradox in the interpretation of group comparisons. Psychol Bull. 1967;68:304–5. doi: 10.1037/h0025105.
          <br/>
          （2）Holland, P.W., Rubin, D.B. (1983). On Lord’s paradox. In: Wainer, H., Messick, S. (Eds.), Principals of Modern Psychological Measurement. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, NJ, pp. 3–25.
         </p>
         <div class="wumii-hook">
          <br/>
          <br/>
         </div>
        </div>
        <!-- .entry-content -->
        <footer class="entry-meta">
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           <h2 class="author-title">
            关于丁鹏
           </h2>
           <p class="author-bio">
            Department of Statistics, Harvard University;
Research interest: causal inference;
Homepage: http://sites.google.com/site/pengdingpku/
            <a class="author-link" href="http://cos.name/author/dingpeng/" rel="author">
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           </p>
          </div>
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         </div>
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       <div class="comments-area" id="comments">
        <h2 class="comments-title">
         《
         <span>
          因果推断简介之七：Lord’s Paradox
         </span>
         》有17个想法
        </h2>
        <ol class="comment-list">
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-4821">
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             <b class="fn">
              xkdog
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
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             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4821">
              <time datetime="2013-09-09T20:23:34+00:00">
               2013/09/09 20:23
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             不错，能否提供一些参考文献？谢谢！
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
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           <li class="comment byuser comment-author-dingpeng bypostauthor odd alt depth-2" id="comment-4823">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4823">
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               <b class="fn">
                丁鹏
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4823">
                <time datetime="2013-09-09T22:02:32+00:00">
                 2013/09/09 22:02
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               加了两篇最重要的。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给丁鹏" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4823#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4823", "4823", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-4822">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/road2stat" rel="external nofollow">
               road2stat
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4822">
              <time datetime="2013-09-09T20:54:37+00:00">
               2013/09/09 20:54
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             好文！
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给road2stat" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4822#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4822", "4822", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-even depth-1" id="comment-4824">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4824">
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             <b class="fn">
              xkdog
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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              <time datetime="2013-09-09T22:03:58+00:00">
               2013/09/09 22:03
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             哈哈，多谢！
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给xkdog" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4824#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4824", "4824", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
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         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment byuser comment-author-shitao even thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-4825">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4825">
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             <b class="fn">
              Tao Shi
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4825">
              <time datetime="2013-09-10T00:53:41+00:00">
               2013/09/10 00:53
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             所以写文章时数据收集和模型得假设要一条一条列清楚，要不然骗（误导）了别人后自己还觉得挺无辜。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Tao Shi" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4825#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4825", "4825", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-dingpeng bypostauthor odd alt depth-2" id="comment-4827">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4827">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/952a7fe51bcad078c1f06cb495ab9851?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                丁鹏
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4827">
                <time datetime="2013-09-10T01:40:46+00:00">
                 2013/09/10 01:40
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               是的！可惜的是，常常听到别人报告他们的统计发现，而不知道他们作了什么假定。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给丁鹏" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4827#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4827", "4827", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-4826">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4826">
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             <b class="fn">
              carls
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4826">
              <time datetime="2013-09-10T01:19:09+00:00">
               2013/09/10 01:19
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             为什么在chrome下公式乱了？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给carls" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4826#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4826", "4826", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-dingpeng bypostauthor odd alt depth-2" id="comment-4828">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4828">
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               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/952a7fe51bcad078c1f06cb495ab9851?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                丁鹏
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4828">
                <time datetime="2013-09-10T01:43:14+00:00">
                 2013/09/10 01:43
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               刷新一下可能就行了。我也常常出现乱码。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给丁鹏" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4828#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4828", "4828", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-4830">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4830">
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             <b class="fn">
              kidneyle
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4830">
              <time datetime="2013-09-10T17:40:13+00:00">
               2013/09/10 17:40
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             为什么RSS阅读器中是乱码？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给kidneyle" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4830#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4830", "4830", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-even depth-1 parent" id="comment-4833">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4833">
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            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/benbenbenwen" rel="external nofollow">
               benbenbenwen
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4833">
              <time datetime="2013-09-11T14:57:03+00:00">
               2013/09/11 14:57
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             丁鹏是写量化投资那本书的作者么？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给benbenbenwen" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4833#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4833", "4833", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-dingpeng bypostauthor even depth-2" id="comment-4836">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4836">
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              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/952a7fe51bcad078c1f06cb495ab9851?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                丁鹏
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4836">
                <time datetime="2013-09-11T23:49:40+00:00">
                 2013/09/11 23:49
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               不是；等我自学了量化投资，可以写一本。。。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给丁鹏" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4836#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4836", "4836", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
           <li class="comment odd alt depth-2" id="comment-4841">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4841">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/32a582d3dccdb4c59f50cdff5b49fe1c?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                miro
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4841">
                <time datetime="2013-09-12T15:08:03+00:00">
                 2013/09/12 15:08
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               那个骗子怎么和这位大哥相比？
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给miro" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4841#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4841", "4841", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-4835">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4835">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/be28c99c994cd026b54b10bba814802c?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              Gynecologist mountain view, ca
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4835">
              <time datetime="2013-09-11T20:22:30+00:00">
               2013/09/11 20:22
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             谢谢你的美好的信息。这是对我来说真的很重要。我要搜索此类信息从长一段时间，终于得到它。
             <br/>
             &lt;a href="
             <a href='http://doctorazad.com"&gt;Gynecologist' rel="nofollow">
              http://doctorazad.com"&gt;Gynecologist
             </a>
             mountain view, ca&lt;/a&gt;
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Gynecologist mountain view, ca" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4835#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4835", "4835", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-even depth-1 parent" id="comment-4837">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4837">
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            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://yihui.name" rel="external nofollow">
               谢益辉
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
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             <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4837">
              <time datetime="2013-09-12T03:36:11+00:00">
               2013/09/12 03:36
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             如本文结论所说，这项研究根本无法回答食堂的作用，因为没有对照组，某种程度上是在用正确的方法回答错误的问题。那抛开食堂的问题，它能否回答性别的作用呢？同在食堂吃饭的男女之间的体重增量是否有显著差异？这个问题也有些狡猾。假设Y，X和G就是我们知道的所有信息（影响体重的当然还有很多因素），那么ANCOVA似乎是一条显然的路。统计学家一是统计学家二的特殊情况，他假设$beta_x=1$，然后看Y-X这个差异在不同的G之间是否有显著差异。这两个统计学家回答的问题其实也不一样：一回答的是增量是否有差异，二回答的是在初始体重相同的条件下，体重增量是否有差异。
            </p>
            <p>
             那ANCOVA在这个问题上是否合适呢？从模拟来看，Y和X都是随机变量，而且还有协方差，这对一般要求自变量非随机的回归模型来说，也是不符合假设的。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给谢益辉" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4837#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4837", "4837", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-dingpeng bypostauthor even depth-2" id="comment-4838">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4838">
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               <b class="fn">
                丁鹏
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4838">
                <time datetime="2013-09-12T11:13:30+00:00">
                 2013/09/12 11:13
                </time>
               </a>
              </div>
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             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               说的在理。
              </p>
              <p>
               不过关于最后一段我有如下回复：一般的回归模型并不一定要求自变量是非随机的。统计中一般讨论fixed design，有时候又讨论random design；讨论哪个很多时候依赖于数学的方便。教科书多讲fixed design，但是random design更常见—比如经济学和流行病学等。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给丁鹏" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4838#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4838", "4838", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
           <li class="comment odd alt depth-2 parent" id="comment-4839">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4839">
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              <div class="comment-author vcard">
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               <b class="fn">
                Tao GAO
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4839">
                <time datetime="2013-09-12T13:03:24+00:00">
                 2013/09/12 13:03
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
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             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               谢大说的是。不过如果按1是2的特殊情况处理，1和2回答的问题应该是一样的吧，只是1条件更多，初始为0。对于回答在食堂都吃饭的男女体重增加是否有差异，应该是没有问题的吧，可以将男女看作＂处理＂？不过就不是研究因果了。。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给Tao GAO" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/?replytocom=4839#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4839", "4839", "respond", "8443" )' rel="nofollow">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment byuser comment-author-dingpeng bypostauthor even depth-3" id="comment-4847">
              <article class="comment-body" id="div-comment-4847">
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                 <b class="fn">
                  丁鹏
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/09/causality7-lord-paradox/#comment-4847">
                  <time datetime="2013-09-12T23:44:56+00:00">
                   2013/09/12 23:44
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 不用potential outcomes确实会引发很多混淆性的争论，Cox 和 McCullagh 还写过一篇文章，谈及了Lord悖论。他们在 ANCOVA 下讨论，不太容易讨论清楚，本质上是非常有问题的。
                </p>
                <p>
                 Reference：
                 <br/>
                 Cox, D. R. and McCullagh, P. (1982). Some aspects of analysis of covariance (with discussion). Biometrics 38 541–561.
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
        </ol>
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          </p>
          <p style="display: none;">
          </p>
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            中国人民大学统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://rucdmc.net">
            中国人民大学数据挖掘中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://birc.gsm.pku.edu.cn/" target="_blank">
            北京大学商务智能研究中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://sam.cufe.edu.cn/" target="_blank" title="中央财经大学统计与数学学院网站">
            中央财经大学统计与数学学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://tjx.cueb.edu.cn/" target="_blank" title="首都经济贸易大学统计学院网站">
            首经贸统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.shookr.com/">
            数客网大数据社区
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.xueqing.tv/" target="_blank" title="数据科学在线学习平台">
            雪晴数据网
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://iera.name/" target="_blank" title="IERA是一个旨在普及、传播和增进工业工程知识的非营利性网站">
            IERA（直通IE）
           </a>
          </li>
         </ul>
        </aside>
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          全部分类
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          全部分类
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           选择分类目录
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           cos访谈  (4)
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           图书出版  (5)
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           数学方法  (14)
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           分析与代数  (1)
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           随机过程  (5)
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           数据分析  (81)
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           多元统计  (3)
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           数据挖掘与机器学习  (42)
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           计量经济学  (4)
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           金融统计  (3)
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           风险精算  (7)
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           模型专题  (15)
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           回归分析  (10)
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           时间序列  (2)
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           每周精选  (24)
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           可视化  (9)
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           沙龙纪要  (3)
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           经典理论  (46)
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           统计推断  (26)
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           试验设计  (7)
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           非参数统计  (3)
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           统计之都  (279)
          </option>
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           中国R会议  (2)
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           出国留学  (3)
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           推荐文章  (90)
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           新闻通知  (75)
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           高校课堂  (9)
          </option>
          <option class="level-0" value="178">
           统计计算  (28)
          </option>
          <option class="level-1" value="40">
           优化与模拟  (15)
          </option>
          <option class="level-1" value="43">
           贝叶斯方法  (6)
          </option>
          <option class="level-0" value="378">
           软件应用  (116)
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           统计图形  (36)
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          <option class="level-1" value="110">
           统计软件  (83)
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            fineboom
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           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/use-shiny-fleetly-set-up-visual-prototype-system/#comment-7317">
            利用shiny包快速搭建可视化原型系统
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            胡家新
           </span>
           发表在《
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            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
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             南糯山普洱茶
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7315">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
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            J
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           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/05/value-of-the-reputation-from-the-data/#comment-7314">
            数据告诉你：高信誉的卖家应该收高价，还是收低价？
           </a>
           》
          </li>
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            <a class="url" href="http://gg" rel="external nofollow">
             Hilda
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2013/01/drawing-map-in-r-era/#comment-7311">
            R时代，你要怎样画地图？
           </a>
           》
          </li>
         </ul>
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            处理时间数据和产生时间序列的问题
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          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/6790/">
            《统计陷阱》下载 （How to lie with statistics）
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            统计学的世界（第五版）
           </a>
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           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/16574/">
            class(x) 返回值值是AsIs,AsIs代表什么，有什么用处？
           </a>
          </li>
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            如何用R绘制一个分类算法的决策规则
           </a>
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